Diario del corso:
Testi consigliati:
​[1] L. Battaia - Matematica di base
[2] P. Baiti, L. Freddi - Corso integrato di matematica per le scienze naturali ed applicate". (Si guardi anche il sito dedicato al testo: http://biomat.dimi.uniud.it )
[3] R. Piazza - I capricci del caso. Introduzione alla statistica, al calcolo delle probabilità e alla teoria degli errori.
[4] Bramanti, Pagani, Salsa - Analisi Matematica 1
Modalità d'esame:
scritto (4 ore) e orale
Simulazioni di prove scritte:
traccia 1, traccia 2, traccia 3, traccia 4
Prove scritte:
29/01/2021, 25/02/2021, 23/07/2021, 20/09/2021
(Gli esami di Giugno 2021 si sono svolti soltanto in modalita' orale per mancanza di iscritti)
PARTE I (matematica di base, successioni e serie numeriche).
1 - 29/09, [3 ore] - Definizione formale di funzione e prime proprietà. I numeri naturali. Divisione Euclidea e numeri
primi. Dimostrazione dell'infinità dei primi. I numeri interi. I numeri razionali. Rappresentazione decimale con problema dell'unicità della rappresentazione. Dimostrazione dell'uguaglianza 1 = 0.999... . La necessità dei numeri reali. Esempio: √2 non è razionale. biblio: [1] cap. 2
2 - 30/09, [1 ora] - Costruzione intuitiva dei numeri reali. Definizione assiomatica dei numeri reali. inf e sup di un sottoinsieme dei reali. Completezza ed esistenza di inf e sup per insiemi limitati. La retta reale e gli intervalli. Concetto di numero trascendente. Successioni reali. Limite di una successione. biblio: [2] cap. 3, 11, 13
3 - 06/10, [2,5 ore] - Unicita' del limite. Ogni successione convergente ad un valore finito è limitata. Ogni successione monotona ammette limite (finito o infinito). Proprieta' dei limiti. Calcolo del limite di successioni e forme indeterminate. Il limite di quozienti di successioni polinomiali. Il principio di induzione ed esempi. Definizione del numero di Nepero "e", qualche applicazione. biblio: [2] cap. 13, capitoli aggiuntivi 2 e 6 sul sito del testo.
4 - 07/10, [2 ore] - Esercizi sulle successioni (PDF). Teoremi di permanenza del segno e del confronto (solo enunciato, [4] teo. 3.4, 3.5 e 3.6). Sottosuccessioni. Serie numeriche. La serie geometrica. biblio: [2] capitoli aggiuntivi 10 e 7 sul sito del testo, [4] cap. 5.1.
5 - 13/10, [2,5 ore] - La serie di Mengoli, la serie armonica e generalizzazioni. Se una serie converge allora la successione è infinitesima. Criteri di convergenza (solo enunciato): confronto, confronto asintotico, crit. della radice, crit. del rapporto, crit. di Leibniz. Esercizi sulle serie (PDF). biblio: [4] cap. 5.1.
6 - 14/10, [2 ore] - Concetto di funzione reale. Funzioni elementari: funzioni linerari, polinomi e funzioni razionali, esponenziale, logaritmo, valore assoluto, funzioni trigonometriche. biblio: [2] cap. 7
PARTE II (calcolo differenziale e integrale).
7 - 20/10, [2.5 ore] - Due definizioni di limite per funzioni: mediante successioni e mediante intorni. Limite sx e limite dx. Concetto intuitivo di continuita' e definizione di funzione continua. Primi esempi. biblio: [2] cap. 12, 14, 15; [4] cap. 3.2
8 - 21/10, [2 ore] - Punti di accumulazione. Dimostrazione che le due definizioni di limite sono equivalenti (referenza per la dim. tratta da "W. Rudin - Principles of Mathematical Analysis"). Proprieta' dei limiti. Esercizi (PDF). biblio: [2] cap. 12, 14, 15; [4] cap. 3.2
9 - 27/10, [2.5 ore] - Composizione di funzioni continue. Esercizi (PDF). biblio: [2] cap. 15
10 - 28/10, [2 ore] - Asintoti. Proprietà globali per funzioni continue: teorema degli zeri, una funzione continua mappa intervalli chiusi in intervalli chiusi (solo enunciato), funzioni continue e monotonia. biblio: [4] cap. 3.4
11 - 03/11, [2 ore] - Tasso di crescita e rapporto incrementale. Differenziabilità e derivata (puntuale e globale). Derivata di funzioni note. Significato geometrico della derivata e retta tangente al grafico di una funzione. Algebra delle derivate. Punti di non derivabilità. Derivabilità implica continuità. biblio: [4] cap. 4.1, 4.2, 4.3
12 - 04/11, [2 ore] - Punti di estremo locale. Punti stazionari e teorema di Fermat. Teorema del valor medio (solo enunciato). Caratterizzazione delle funzioni monotone in un intervallo mediante studio del segno della derivata. Algoritmo per la ricerca e la caratterizzazione dei punti di estremo locale. Esempi. biblio: [4] cap. 4.4
13 - 10/11, [2 ore] - Esercizi (PDF).
14 - 11/11, [2 ore] - Teorema di de l'Hospital (solo enunciato). Significato intuitivo di derivata seconda. Insiemi convessi del piano. Funzioni concave/convesse in un intervallo e relazione con la derivata seconda. La derivata seconda in alcuni casi determina la natura dei punti stazionari. Punti di flesso. Studio del grafico di una funzione. biblio: [4] cap. 4.4, 4.5, 4.6
15 - 17/11, [3 ore] - Il concetto di o-piccolo. "Linearizzazione" di funzioni. Approssimazione di funzioni con il polinomio di Taylor. Resto di Peano e resto di Lagrange (solo enunciati). Funzione esponenziale espressa come serie di potenze (qua si usa il criterio del rapporto per successioni che era stato saltato in precedenza). Esercizi (PDF). biblio: [4] cap. 4.7
16 - 18/11, [2 ore] - Il problema del calcolo delle aree. La somma di Riemann. L'integrale di Riemann. Alcune classi di funzioni integrabili: funzioni continue, funzioni limitate e monotone, incollamenti di funzioni integrabili (solo enunciati). Un esempio di funzione limitata ma non integrabile: la funzione di Dirichlet. Proprietà dell'integrale di Riemann. Il teorema della media. biblio: [4] cap. 6.1, 6.2, 6.3
17 - 23/11, [2 ore] - Primitiva di una funzione. Due primitive di una stessa funzione differiscono per una costante. Una funzione continua su un intervallo chiuso ammette una primitiva (Referenza [4, Teo. 6.10(2)]). Teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive di funzioni elementari. Esempi di funzioni che ammettono primitive non esprimibili come composizione di funzioni elementari. Integrazione per sostituzione. biblio: [4] cap. 6.4, 6.5
18 - 24/11, [3 ore] - Tecniche di integrazione: funzioni razionali, integrazione per parti, integrali trigonometrici speciali. Lunghezza di grafici. Solidi di rotazione: calcolo di volumi e aree. biblio: [4] cap. 6.5, 6.6
19 - 25/11, [1 ora] - Integrali generalizzati: funzioni illimitate, intervalli illimitati. Il paradosso della tromba di Torricelli. biblio: [4] cap. 6.8
20 - 30/11, [2 ore] - Esercizi (PDF).
PARTE III (Probabilità e Statistica).
21 - 1/12, [3 ore] - Spazio degli eventi e σ-algebre. Definizione assiomatica di probabilità e conseguenze degli assiomi. Eventi indipendenti. Probabilità condizionata. biblio: [3] cap. 2.1, 2.2, 2.3.
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22 - 2/12, [2 ore] - Formula delle probabilità totali. Il problema di Monty Hall. Vari esempi sulla probabilità condizionata. Il teorema di Bayes. Ripasso sul calcolo combinatorio: distribuzioni con ripetizioni. biblio: [3] cap. 2.3, 2.4
23 - 7/12, [2 ore] - Ripasso sul calcolo combinatorio: distribuzioni senza ripetizioni, combinazioni, stars & bars. Esercizi (PDF). biblio: [3] cap. 2.4
24 - 9/12, [2 ore] - Variabili aleatorie discrete e distribuzioni di probabilità associate. V.a. di Bernoulli. Valore atteso. Processi di Bernoulli. biblio: [3] cap. 3.1, 3.2
25 - 14/12, [2 ore] - Distribuzione geometrica. Il paradosso di San Pietroburgo. Proprietà del valore atteso. Varianza di una v. a. con esempi. La distribuzione binomiale. biblio: [3] cap. 3.2, 3.3
26 - 15/12, [3 ore] - Random walk. Approssimazione della distribuzione binomiale mediante distribuzione di Poisson. Variabili aleatorie a valori reali. Distribuzioni di probabilità. V.a. uniforme. Densità di probabilità e v.a. continue. Valore atteso e varianza. biblio: [3] cap. 3.3, 3.4, 3.5
27 - 16/12, [2 ore] - Assenza di memoria del tempo di attesa e distribuzione esponenziale (referenza). Significato intuitivo della distribuzione esponenziale. Funzione di densità gaussiana e prime proprietà. V.a. standardizzate e teorema centrale. biblio: [3] cap. 3.5, 3.6
28 - 21/12, [2 ore] - Legge dei grandi numeri. Applicazioni del teorema centrale. Intervalli di confidenza. biblio: [3] cap. 3.6, 3.7, ref. aggiuntiva